随机过程

通俗地说，随机过程是所有可能实现的所构成的总体。随机过程严格从数学角度定义如下：设随机试验E的可能结果为ζ(t)，试验的样本空间S为{x1(t)，x2(t)，…，xi(t)，i为正整数，xi(t)为第i个样本函数(又称之为实现)，每次试验之后，取空间S中的某一样本函数，于是称此ζ(t)为随机函数。当t代表时间量时，称此ζ(t)为随机过程。随机过程的特点：它是时间t的函数，但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。也可以看作是随机试验的可能出现的ζ(t)函数，存在一个由全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程。随机过程的理论产生于20世纪初期[1]，是应物理学、生物学、管理科学等方面的需要而逐步发展起来的。在自动控制、公用事业、管理科学等方面都有广泛的应用。一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度论、[4] 微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。研究内容主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。中国学者在[5] 平稳过程、马尔科夫过程、[6] 鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程。 随机过程的理论产生于20世纪初期，是应物理学、生物学、管理科学等方面的需要而逐步发展起来的。目前，在自动控制、公用事业、管理科学等方面都有广泛的应用。 发展概况： 1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。 1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。 1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。 1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。 1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。

在一定条件下，在个别试验或观察中呈现不确定性，但在大量重复试验或观察中其结果又具有一定规律性的现象，称为随机现象。随机现象的结果至少有2个;至于哪一个出现,事先并不知道。 随机现象 随机现象的产生原因是次要因素，也叫随机因素。 客观世界是运动的，运动是有规律的。物质运动的规律可以分为必然规律和统计规律。必然规律是指事物本质的规律，它毫无例外地适用于事物所有个体；统计规律是指通过对随机现象的大量观察，所呈现出来的事物的集体性规律。统计规律与事物的单一个体的性质时而偶合，时而近似，时而简直没有什么联系。 客观世界作用于事物各个个体的因素分为基本因素和次要因素两类，基本因素决定事物的必然规律，次要因素使事物呈现统计规律。人们所能认识而且能够控制的因素是基本因素，而大量的次要因素未能为人们所认识或未能被人们所控制，但只要存在次要因素的影响，就必然会有所表现。比如发射炮弹，其基本因素也是人们所能控制的是它的初始条件--初速、发射角等，这些可以通过弹道方程（必然规律）计算出炮弹的落地点，但炮弹在飞行过程中会受到空气的阻力--风速、风向、空气的湿度、温度等的影响，它们使得炮弹不能落在它的准确的目的地。