黎曼几何

黎曼几何为什么没有平行线
两平行线相交于无穷点

以下为引用：

“平行线公理”之争的终结——黎曼几何

让我们先来个逻辑推理：对于“过直线外一点可做其几条平行线”？欧氏几何说，只能做一条；罗氏几何说，至少可以做两条（包括一组和无数）。那么还剩什么情况没涉及到呢？



很显然，就是一条都不能做！

而有人沿着这个思路想下去，还真的又创立了一种“非欧几何”。这个人叫“黎曼”，是德国数学家，所以这种几何又被称为“黎曼几何”。1854年黎曼所作的《论几何学作为基础的假设》一文，是“黎曼非欧几何”诞生的标志。

那么黎曼何以认为“过直线外一点一条该直线的平行线也做不出来”呢？

这需要我们再回到球面。我在讲罗氏几何时，就不得不提前告诉大家，圆球上的“直线”是过球心的圆上的“大圆弧”，且这些“直线圆”都是相交的，并建议大家用两根“赤道圆绳”在地球仪上比划，以获得鲜明、生动的“感性认识”。（请参见41页2027复“罗氏几何可能在什么“面”上实现？”）其实这一思想是黎曼的。

这里需要注意的是：我们大家所熟悉的地球仪上的“纬线圈”可不是“球面直线”！亦即“纬线圈”及其“圆弧”不是“短程线”（或说“测地线”）。这是为什么呢？大家可以就着地球仪观察一下，凡是“直线圆及其圆弧”，过其上任一点所做的圆球的切面，与这个直线圆或其圆弧都是“垂直”关系！这是球面“直线”和“直线圆”的突出特点。但纬线圈及其圆弧就无此特点了，你可以任意选一纬线（赤道除外），然后在其上任选一点，过该点做圆球的切面（用本书罩在这点上，使地球仪靠在这书上，就像地球仪静放在桌面上的书上的状态一样即可。这里只不过移到了空中）。这时你就可明显地发现，纬线圈与其有关“球切面（书）”是一种“斜交”关系，而非“垂直”关系。当然，“一段纬线”，即“纬线圆弧”，与其各点“球切面”的关系，亦是“斜交”，而非垂直关系。因此纬线圈及其圆弧不是球面上的“直线”。——由此，旅行时，大家应选择走“球面直线圆弧”（大圆弧），而不是“沿着纬线走”，这样你才能真正走“捷径”！沿着纬线走其实是“绕远”、走了弯路了。但“赤道”既是纬线又是球面直线圆，所以在赤道沿着赤道走是最短途径，是走的“直线”。

下面回到正题：正是由于球上“大圆弧”延长后都是有限、封闭的（都成“圆”），且任何两个“球面直线圆”都相交，因此黎曼认为球面（如我们的“地球”，曾被看成“平面”）上其实无平行线可言，当然也就更谈不到“过直线外一点作其一条或几条平行线”了。这样关于欧氏几何的“第五公设”，到了黎曼这里，就变成“过直线外一点一条平行线都做不出来”了（这其实也是欧氏第五公设的一个“反命题”）！

而“圆球”是“椭圆球”的特例，我们的地球实际就是个不规则的“椭球体”。关于圆球和各种椭球的关系如下：

椭球是一种二次曲面，是椭圆在三维空间的推广。椭球在xyz-笛卡儿座标系中的方程是：

其中a和b是赤道半径（沿着x和y轴），c是极半径（沿着z轴）。这三个数都是固定的正实数，决定了椭球的形状。

如果三个半径都是相等的，那么就是一个球；如果有两个半径是相等的，则是一个类球面。

球；

扁球面（类似块状）；

长球面（类似条状）；

不等边椭球（“三条边都不相等”）。

点(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。从原点到这三个点的线段，称为椭球的半主轴。它们与椭圆的半长轴和半短轴相对应。（摘自“ *** ”，请参见下图）

因此，黎曼由圆球得出的结论，可以推广到“椭球”：过椭球心的“椭圆及其圆弧”乃椭球上的“短程线”或说“测地线”，亦即“椭球直线”。同样这些“直线椭圆”也是相交关系......
为什么相交线段平行(黎曼几何)
你说的是微分几何吧。

很高兴有这个机会向你解释一下，因为我是学数学的，首先你们老师说的是有点问题的，在非欧几何中（包括黎曼几何和罗巴切夫斯基几何），直线并不是我们现在通常的直线，例如在罗巴切夫斯基几何中直线就是 一系列起始点在实轴上的半圆周，所以它也叫做“球面几何”，虽然这跟我们平常的先天直观不符，但是它也并没有违背逻辑。

比如在球面几何上，两条经线是平行的，但是直观上他们却是相交 的。以后有机会就多学学数学吧。
黎曼几何为什么平行线
你想问的是为什么黎曼几何中平行线可以相交吧。简单的举个例子，地球的两条平行的经线会有两个交点，也就是北极点和南极点。黎曼几何是建立在黎曼空间上的，是比我们日常所处的欧式空间更复杂的曲面空间，事实上，曲面空间才是真实的宇宙。
我和你就像平面几何里的平行线，纵然延续再长，却永远没有交点，这一刻我奢望黎曼几何的世界。
平面几何中的平行线永远不相交，黎曼几何没有平行线

现实世界两个人永远没办法在一起，我却希望有个世界只属于你我

只因为楼上说的太精彩，太动人，太感人！忍不住再回一遍！

黎曼几何中平行线相交的意思是在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。黎曼几何是非欧几何的一种，亦称椭圆几何。德国数学家黎曼，对空间与几何的概念作了深入的研究，于1854年发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。几何是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。

黎曼几何是非欧几何的一种，亦称“椭圆几何”。德国数学家黎曼，对空间与几何的概念作了深入的研究，于1854年发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。 黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。 欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。 其他： 内容： 黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的，在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形： 1、曲率恒等于零。 2、曲率为负常数。 3、曲率为正常数。 应用： 近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础。也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。 以上内容参考：黎曼几何-百度百科