扩散方程

您好！据个人所知，汪训洋老师是兰州理工大学理学院应用数学系的老师，主要教授本科生课程：《高等数学1》、《高等数学2》、《概率论与数理统计》、《线性代数》、《常微分方程》、《数学物理方程》，并辅助教学两门研究生课程《常微分方程定性与稳定性理论》与《生物数学原理》。汪老师的学习经历如下：
1998.9-2002.6，在中国地质大学数学与物理系学习，专业为数学与应用数学，2002年获学士学位；
2003.9-2006.6，在华东师范大学数学系应用数学系攻读硕士学位，方向为微分方程的奇异摄动理论，2006年获理学硕士学位，导师为倪明康教授；
2012年至今，在兰州理工大学电信学院在职攻读博士学位，方向为生物数学中的相关控制问题，导师为霍海峰教授。
汪老师的科研工作如下：
在中文核心期刊上发表论文多篇，在SCI杂志上发表文章一篇。研究领域为奇异摄动理论与应用、生物数学中的控制问题。目前科研项目为：
主持甘肃省自然科学基金（B类）：HIV病毒传播的随机模型分析与控制方法；
参加（第一参与人）研究生重点学位课程《数学物理方程》的课程建设。
2012年，以参与人的身份获甘肃省高校科技进步奖二等奖和三等奖各一次;
近年来，带队参加全国大学生数学建模比赛，先后获甘肃省特等奖、一等奖、二等奖各一次。
汪老师是一位年轻有为的老师，希望我的回答能让您满意，如有问题我们可继续探讨。

菲克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。菲克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值，即 　　 （2） 　　这就是菲克第二定律的数学表达式。如果扩散系数D与浓度无关，则该式可以写成 　（3）　　上式中，C为扩散物质的体积浓度(kg/m), t为扩散时间(s), x为距离(m)。实际上，固溶体中溶质原子的扩散系数D是随浓度变化的，为了使求解扩散方程简单些，往往近似地把D看作恒量处理。 　　式(2)和(3)都是偏微分方程，求解时应先作变换：令，这样，式(3.7-3)就可以变成一个常微分方程，再结合初始条件和边界条件求出方程的通解。利用通解可以解决包括非稳态扩散的具体问题。

考虑包气带通过一个孔道经过孔隙水的扩散向潜水传送组分的传质过程。与瞬时源不同的是，这时扩散组分通过在孔隙水表层形成一个稳定的饱和层，在气体相平衡溶解的作用下成为浓度恒定且持续的源，如图8—6所示。 图8—3 扩散距离z=2cm处浓度的历时曲线 图8—4 扩散过程不同时刻浓度的分布曲线 图8—5 瞬时源扩散方程曲面图 a—单向扩散曲面图；b—双向扩散曲面图 连续扩散源可表示成无限多的瞬时源（单个脉冲）连续组成的。扩散系统空间位置P点扩散组分浓度是由无限多个瞬时源的连续累加形成的，其浓度可用叠加的形式表达。 图8—6 连续恒定源单向一维分子扩散 连续恒定源扩散问题的初始条件为：c=0（z＞0，t≥0）；边界条件：无限远边界条件：c（∞，t）=0（t＞0）；若以恒定浓度常量c0表达dW，使得瞬时源强度dW=c0dξ（dξ为微小的距离），则用δ函数δ（ξ）表示的初始边界条件为c（0，t）=dW·δ（ξ）=c0dξ·δ（ξ）（z=0，t≥0），δ（ξ）的量纲为[L—1]。 坐标ξ（为负值）的一个瞬时源扩散作用到P（z）点，即为一个dW瞬时源的扩散传质方程在z位置产生的浓度值，依据式（8—7a）或式（8—7b）积分，得式（8—9）中的z—ξ为瞬时源到P（z）点的位置。 水文地球化学基础 连续恒定源单向扩散至z位置产生的总浓度值c（z，t），等于持续恒定源中每个微分量扩散浓度值dc（z，t）的叠加，符合叠加原理，表达为c（z，t）= zdc（z，t），代入式（8—9），得到叠加形式的方程： 水文地球化学基础 将参变量改写为ξ=z—ξ，则积分上下限ξ=[—∞ 0]变为ξ=[∞ z]，dξ=—dξ，式（8—11）可仍以可取代号作变量写为 水文地球化学基础 式（8—10）或式（8—11）右边的积分可用误差函数erf或余误差函数erfc表示。 由误差函数的定义： 水文地球化学基础 误差函数常用性质有：erf（0）=0，erf（—x）+erf（x）=0，erf（∞）=1。 余误差函数erfc的定义： erfc（x）=1—erf（x） 在应用误差函数作数量计算时，可利用软件计算其函数值，一般精度的计算可查图8—7得到误差函值。 对照erf（x）定义，取z= ，并以误差函数erf（）表示结果，c（z，t）=c0—c0cerf（ ）。 图8—7 误差函数曲线 利用误差函数的性质处理后得到的式（8—12），是以余误差函数erfc（）表达的连续恒定源单向扩散问题解： 水文地球化学基础 依据方程式（8—12），式中的参数c0=10mg/L，D=1.3×10—4m2/d，绘制图8—8。式中 为t扩散时间下的特征扩散距离 ，相应特征浓度近似等于c0/2。 式（8—10）～式（8—12）是持续恒定源单向分子扩散模型的解析解形式，图8—8所示曲面是解的三维图形解形式。 图8—8 持续源一维扩散浓度变化曲面 参数取值：c0=10mg/L，D=1.3×10—4m2/d 作图范围：0＜z＜0.5，0＜t＜300 为了直观表现扩散组分状态的动态变化，可以利用非稳态问题的解，作连续多个不同时刻t下的z—c曲线，制作动画，即为动画形式的解。因此，解析解、数值解是最常用的两种形式，有时其他的表达形式可能更适合应用的需要。 【例题8—3】某水井内径25cm，渗流涌入1.0m深的井水，井水温度10℃，表层水饱和溶解氧浓度可持续达10mg/L，井水中无产氧和耗氧过程，水井附近含水层地下水中的溶解氧浓度为0。试计算300d的平均扩散距离 ；并给出 前后一定范围内经300d井水中各不同深度处的O2浓度是多少？ 解：t=300d，D=1.3×10—4m2/d，由式（8—5）得 0.27m。 ，约为半浓度位置。 按300d时平均扩散距离为0.27m，可认为扩散浓度波前锋可达到 处，z的计算取值可在0～0.8m内。本例中z取1m内的计算范围。 依据式（8—8），在Microsoft Excel表单中可利用Excel内置函数erfc计算。数表解见表8—3。 表8—3 解的数据表 再将数值结果作图（图8—9），以利于观察浓度变化趋势和得到更多位置上的浓度值。 图8—9 持续源一维单向扩散浓度变化曲线 图8—8为本题单向持续恒定源分子扩散模型的图形解。图8—9为图8—8中的一个剖面线，是在一定时间（t=300 d）时持续源一维单向扩散浓度变化曲线。 扩散源扩散组分的来源，有多种形式。如前所述的瞬时源是最基本的源，其他的源可以用瞬时源表示。除了无限连续源、无限持续源以外，还存在有限连续或持续源；持续源的源强度可以如例8—3为恒定源，也可是强度随时间变化的源。